Thursday, October 16, 2008

A short math problem instead of a long philosophical text this time! Here's a problem that was given by one of our math lecturers in the University, and I was quite impressed with its solution at that point.

Suppose f(x) is a good function (say, has n-th derivative for every n) on [0,3], f(0)=f(3)=0. Prove or disprove: int(der(f)^2)>=int(f^2), where int() means integral from 0 to 3, and der(f) is the derivative of f. Can you solve it? [right, right, I'm testing if anyone actually reads this :)]

And as a bonus, here's a random blurry picture from my recent trip to London for Google Code Jam (I've tried to find a good picture that has me on it, but it appears there isn't any). London is exciting!

21 comments:

  1. Такую задачу умеет решать грузик на пружинке, я знаю.

    ReplyDelete
  2. Take f(x) = e^(x/2). Then f'(x) = 1/2 e^(x/2). We want to prove that 1/4*(int e^x) = int(1/4 e^x) >= int(e^x). But the integral of e^x is strictly positive in [0, 3], so that can't happen.

    ReplyDelete
  3. Oh, nice, I missed the hypothesis that said that f(0) = f(3) = 0.

    ReplyDelete
  4. I don't get it.
    x*(3-x) sure fits description,
    with f'(1.5)=0, f(1.5)=9/4.
    So, 0^2 = 0 < 81/16 = (9/4)^2, right?

    ReplyDelete
  5. We're not taking f(x) and f'(x)'s values at some point. We find the integral of those functions from 0 to 3. In your case, the integral of (f(x))^2=(x*(3-x))^2=(3x-x^2)^2=9x^2-6x^3+x^4 from 0 to 3 is 8.1, while the integral of (f'(x))^2=(3-2x)^2=9-12x+4x^2 from 0 to 3 is 9.0 (if I haven't made any mistake while calculating).

    ReplyDelete
  6. Прошу прощения, совсем забыл про это комментарий.

    Пожалуйста. \int\frac12((f')^2-f^2)dt есть функционал действия для гармонического осцилятора. Он достигает экстремума на реальных траекториях грузика на (горизонтальной) пружинке. Для гран. условий f(0)=0, f(3)=eps>0 это Csin t (C=eps/sin(3)). Нетрудно проверить, что для такой f разность левой и правой части положительна. Следовательно, для каждой f, такой что f(0)=0, f(3)=eps неравенство верно. Значит, верно оно и при eps=0. По-моему так.

    ReplyDelete
  7. Что-то я переусдожняю в это время суток. Никакого eps отличного от нуля рассматривать не надо. Экстремум достигается просто на нулевой функции.

    P.S. "word verification" утомляет.

    ReplyDelete
  8. Насчет нулевой функции не понял. В доказательстве должно как-то использоваться число 3 - для 4 это ведь неверно.

    Еще непонятно насчет достигает экстремума. Можно сформулировать теорему конкретную или ссылку?

    ReplyDelete
  9. word verification ведь не появляется если ты залогинен?

    ReplyDelete
  10. Появляется для всех кроме автора блога, вроде. Для меня в твоем блоге появляется всегда, по крайней мере.

    ReplyDelete
  11. OT:
    Do you really participate in Google code jam 2008?
    I could not see your name in the top qualifiers? (you should be there i guess)
    And how you can participate while AFAIK you are an employee at Google

    ReplyDelete
  12. I was helping organize the London event.

    ReplyDelete
  13. Я просто пишу уравнение Э-Л. Но видимо получается неправильно почему-то.

    ReplyDelete
  14. Вроде разобрался (с помощью Миши Б. и ДНФ): уравнение Эйлера-Лагранжа всегда позволяет найти единственную критическую точку; но если правая граница меньше pi, то эта точка -- экстремум, а начиная с pi вторая вариация незнакоопределена (квадратичная форма зануляется на f(x)={sin x при 0<=x<=pi, 0 x>pi} -- эта функция только кусочно гладкая, но при пополнении такие штуки возникают).

    Прошу прощения за флуд.

    ReplyDelete
  15. Примерно пнятно.

    ReplyDelete
  16. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  17. Мне сегодня встретилась эта задача. Для достаточно гладких функций (видимо, достаточно класса C^2) она очень естественно решается методом Фурье. Рассказать, как?

    ReplyDelete
  18. Hi Petr, What are you doing now? Studying or working? Just little bit curious to know :)

    ReplyDelete